Обратное преобразование Лапласа
Результаты исследований в основном в области расчёта конструкций. Выполнены в порядке развлечения (хобби) на базе моего опыта работы в прошлом. Научная строгость изложения будет обеспечиваться не всегда (лень выполнять рутинную работу). Однако все предложенные алгоритмы проверены на конкретном материале..
1) Обратное преобразование Лапласа численными методоми. Предлагается алгоритм на основе полученного мною решения. Расчёт сводится к суммированию двойного ряда. Для всех значений аргумента оригинала функции достаточно один раз вычислить значения изображения только в равноотстоящих точках действительной оси. Методика предназначена, в частности, для решения некоторых дифференциальных уравнений при расчёте конструкций на динамические нагрузки. Приводится пример реализации..
Текст статьи с примером расчёта на Mathcad http://www.pessim50.ucoz.ru/preobras3.xmcd
Программу обратного преобразования Лапласа по этой же методике на языке Ruby можно скачать по ссылке:
2) С помощью замены одного параметра в приведённом выше решении можно получить формулу обратного преобразования Лапласа по типу квадратурной формулы, коэффициенты которой, в принципе можно табулировать. Расчёт становится предельно простым, но при этом для каждого аргумента оригинала надо заново вычислять значения изображения в точках действительной оси.
Текст статьи с примером расчёта на Mathcad http://www.pessim50.ucoz.ru/laplas.xmcd
3) Применив апроксимирующую функцию, можно для коэффициентов, допускающих табуляцию, не использовать приведённую выше формулу суммирования ряда, а рассчитать эти коэффициенты непосредственно. Поскольку суммируемый ряд знакочередующийся с быстро растущими по абсолютной величине членами, значение N ограничивается погрешностью. Новая методика позволяет обойти эту трудность и сделать расчёт более корректным.
Текст и пример расчёта на Mathcad http://www.pessim50.ucoz.ru/preobras_text.xmcd
4) Метод, изложенный в предыдущей статье, можно видоизменить. Примем в качестве апроксимирующей функцию, имеющую свободный параметр. (В рассмотренном выше примере таким параметром может быть частота.) При формировании системы линейных уравнений для коэффициентов суммы можно варьировать не аргумент функции, значение которого в этом случае будет равно заданному, а параметр. Тогда снова для получения оригинала при разных значениях аргумента достаточно только раз вычислить значения изображения на действительной оси.
Текст и пример на Mathcad:
5)Обращение Лапласа указанными выше тремя методами запрограммировано также на языке Ruby. Программы объединены в гем-пакет, есть вывод результата в графиках, приведены примеры. Необходимые инструкции содержаться в комментариях. Ссылка для скачивания
/Laplace-1.0.0.zip
/Laplace-1.0.0.zip